پاسخ کاردرکلاس صفحه 37 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 37 ریاضی دهم - مسئله ۱ سلام! این تمرین برای تقویت درک شما از **نواحی چهارگانه (ربع‌ها)** در **دایره‌ی مثلثاتی** و تعیین محل قرارگیری زاویه‌هاست. بیایید موقعیت هر زاویه را مشخص کنیم. ### **قواعد ربع‌های دایره مثلثاتی** زاویه از محور $x$ مثبت ($\mathbf{0^\circ}$) شروع می‌شود و در جهت پادساعتگرد (مثبت) حرکت می‌کند: * **ربع اول (I):** $0^\circ < \theta < 90^\circ$ * **ربع دوم (II):** $90^\circ < \theta < 180^\circ$ * **ربع سوم (III):** $180^\circ < \theta < 270^\circ$ * **ربع چهارم (IV):** $270^\circ < \theta < 360^\circ$ (یا $ -90^\circ < \theta < 0^\circ$) --- ### **تعیین ربع هر زاویه** **الف) $\mathbf{30^\circ}$** * $\mathbf{0^\circ < 30^\circ < 90^\circ}$ * **نتیجه:** ربع **اول (I)**. **ب) $\mathbf{65^\circ}$** * $\mathbf{0^\circ < 65^\circ < 90^\circ}$ * **نتیجه:** ربع **اول (I)**. **پ) $\mathbf{182^\circ}$** * $\mathbf{180^\circ < 182^\circ < 270^\circ}$ * **نتیجه:** ربع **سوم (III)**. **ت) $\mathbf{-95^\circ}$** * این زاویه منفی است، پس در جهت ساعتگرد حرکت می‌کنیم. * از $\mathbf{0^\circ}$ شروع می‌کنیم و $95$ درجه به سمت پایین می‌رویم. * تا محور $y$ منفی ($\mathbf{-90^\circ}$) می‌رویم، و $5$ درجه ($95-90=5$) دیگر پایین می‌رویم. * این حرکت ما را وارد **ربع سوم** می‌کند (بین $-90^\circ$ و $-180^\circ$). * **نتیجه:** ربع **سوم (III)**. | زاویه | ربع قرارگیری | | :---: | :---: | | $30^\circ$ | ربع اول (I) | | $65^\circ$ | ربع اول (I) | | $182^\circ$ | ربع سوم (III) | | $-95^\circ$ | ربع سوم (III) |

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 37 ریاضی دهم - مسئله ۲ این سوال به قلب مفهوم **علامت نسبت‌های مثلثاتی** در نواحی چهارگانه می‌پردازد. دلیل مثبت بودن همه‌ی نسبت‌ها در ربع اول، به **تعریف مختصاتی سینوس و کسینوس** در دایره‌ی مثلثاتی برمی‌گردد. ### **توضیح دلیل مثبت بودن نسبت‌های مثلثاتی در ربع اول (I)** **۱. مختصات در ربع اول:** * در فعالیت قبلی، دیدیم که نقطه‌ی $P(x, y)$ انتهای کمان زاویه‌ی $\theta$ روی دایره‌ی مثلثاتی است. * اگر زاویه‌ی $\theta$ در **ربع اول** (بین $0^\circ$ تا $90^\circ$) باشد، نقطه‌ی $P$ در ناحیه‌ای از صفحه‌ی مختصات قرار می‌گیرد که هم مختصات **افقی ($x$)** و هم مختصات **عمودی ($y$)** آن **مثبت** است. $$\text{در ربع اول:} \quad x > 0 \quad \text{و} \quad y > 0$$ **۲. ارتباط با سینوس و کسینوس:** * **کسینوس ($\cos \theta$):** بر اساس تعریف دایره‌ی مثلثاتی، $\cos \theta = x$. از آنجایی که $x$ در ربع اول مثبت است ($\mathbf{x > 0}$)، پس $\mathbf{\cos \theta}$ نیز مثبت است. * **سینوس ($\sin \theta$):** بر اساس تعریف، $\sin \theta = y$. از آنجایی که $y$ در ربع اول مثبت است ($\mathbf{y > 0}$)، پس $\mathbf{\sin \theta}$ نیز مثبت است. **۳. تانژانت و کتانژانت:** * **تانژانت ($\tan \theta$):** تعریف تانژانت، نسبت $\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ یا $\frac{y}{x}$ است. $$\tan \theta = \frac{\text{مثبت}}{\text{مثبت}} = \text{مثبت}$$ * **کتانژانت ($\cot \theta$):** تعریف کتانژانت، نسبت $\frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ یا $\frac{x}{y}$ است. $$\cot \theta = \frac{\text{مثبت}}{\text{مثبت}} = \text{مثبت}$$ **نتیجه‌گیری:** چون هم مختصات **$x$** (کسینوس) و هم مختصات **$y$** (سینوس) در ربع اول مثبت هستند، و تانژانت و کتانژانت نیز از تقسیم این دو مقدار مثبت به دست می‌آیند، بنابراین **همه‌ی نسبت‌های مثلثاتی** در ربع اول **مثبت** هستند.